Question

如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作CD∥AO交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E．
（1）试探究CE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）猜想线段CD、AO、BD之间的关系．
（3）若CE=4，DE=2，求sin∠ECD．

Answer 1

解：（1）CE与⊙O相切．
理由：连接OC，
∵CD∥OA，
∴∠AOC=∠OCD，∠ODC=∠AOB．
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠AOB=∠AOC．
∵OA=OA，∠AOB=∠AOC，OB=OC，
∴△AOC≌△AOB．
∴∠ACO=∠ABO．
∵AB与⊙O相切，
∴∠ACO=∠ABO=90°，
∴CE与⊙O相切；

（2）BD²=2AO•DC
证明：∵CD∥AO，
∴∠AOB=∠CDO．
∵AB是⊙O的切线，DB是直径，
∴∠DCB=∠ABO=90°，
∴△BDC∽△AOB，
∴=，
∵OB=BD
∴BD²=AO•DC
即BD²=2AO•DC；

（3）设⊙O的半径为x，由（1）知CE是⊙O的切线，
∴∠ECO=90°，
∴△CEO为直角三角形，
∴CE²+OC²=OE²，
即16+x²=（x+2）²
解得：x=3，
∵∠ECO=90°，
∴∠ECD+∠DCO=90°
∵DB是直径，
∴∠DCB=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∵CO=CD，
∴∠DCO=∠CDB，
∴∠ECD=∠CBD，
∴sin∠ECD=sin∠CBD，
∵∠E=∠E，
∴△ECD∽△EBC，
∴=，
∴sin∠CBD===，
∴sin∠ECD=sin∠CBD=．
分析：（1）CE与⊙O相切，连接OC证明∠ACO=90°即可；
（2）BD²=2AO•DC．连接BC，由题可知求线段CD、AO、BD之间的关系式，可以通过△BDC∽△AOB的比例关系式得出；
（3）由已知条件可证明∠ECD=∠CBD，所以sin∠ECD=sin∠CBD，在直角三角形DCB中求出sin∠CBD的值即可．
点评：本题考查了切线的判定．平行线的判断，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及圆周角定理．利用圆周角定理解答问题时，经常通过作辅助线构建直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理来解答．