Question

12．商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}t+30（1≤t≤24，t为整数）}\\{-\frac{1}{2}t+48（25≤t≤48，t为整数）}\end{array}\right.$，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如表：

时间t（天）	1	3	6	10	20	40	…
日销售量y（kg）	118	114	108	100	80	40	…

（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？
（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？

Answer 1

分析 （1）设y=kt+b，利用待定系数法即可解决问题．
（2）日利润=日销售量×每公斤利润，据此分别表示前24天和后24天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．

解答 解：（1）设y=kt+b，把t=1，y=118；t=3，y=114代入得到：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=118}\\{3k+b=114}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=120}\end{array}\right.$，
∴y=-2t+120．
将t=30代入上式，得：y=-2×30+120=60．
所以在第30天的日销售量是60kg．

（2）设利润为W元
当1≤t≤14时，W=（p-20）y=-$\frac{1}{2}$t²+10t+1200=-$\frac{1}{2}$（t-10）²+1250，
当t=10时，W_最大=1250元
当25≤t≤48时，W=（p-20）y=t²-116t+3360=（t-58）²-4，
当t=25时，W_最大=1085元
∵1250＞1085，
∴综上，当t=10时，W_最大=1250元．

点评 此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．