Question

已知：如图，平行四边形ABCD的边AD=2AB，点E、A、B、F在一条直线上，且AE=BF=AB，EC交AD于M，FD交BC于N．
（1）△AEM≌△DCM吗？说明理由．
（2）四边形CDMN是菱形吗？说明理由．

Answer 1

解：（1）△AEM≌△DCM．理由如下：
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
∵点E、A、B、F在一条直线上，
∴AE∥CD，
∴∠AEM=∠MCD．
又∵AE=AB，
∴AE=DC．
在△AEM与△DCM中，
，
∴△AEM≌△DCM（AAS）；

（2）四边形CDMN是菱形．理由如下：
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，AB=CD．
由（1）知，△AEM≌△DCM，则AM=DM，即MD=AD，
同理，易证△BFN≌△CDN，则BN=CN，即CN=BC=AD，
∴MD=CN，
又MD∥NC，
∴四边形CDMN是平行四边形．
又∵2AB=AD=2DM，AB=CD，
∴DM=CD，
∴平行四边形CDMN是菱形．
分析：（1）△AEM≌△DCM．利用“平行四边形ABCD的对边平行且相等”的性质推知AB∥CD，AB=CD．然后结合已知条件和全等三角形的判定定理AAS证得结论；
（2）四边形CDMN是菱形．由四边形CDMN的对边MD=NC且MD∥NC推知四边形CDMN是平行四边形．再由MD=DC证得平行四边形CDMN是菱形．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及菱形的判定．注意：菱形的邻边相等的平行四边形，而不是邻边相等的四边形．