Question

如图，自△ABC的顶点A引两条射线交BC于X，Y，使得∠BAX=∠CAY，求证：

BX•BY

CX•CY

=

AB2

AC2

．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：证明题

分析：利用三角形面积公式，结合正弦定理进而得出等式求出即可．

解答：证明：∵∠BAX=∠CAY，
∴∠BAY=∠CAX，
∴

BX

CY

=

S△ABX

S△ACY

=

1 2 AB•AX•sin∠BAX

1 2 AC•AY•sin∠CAY

=

AB•AX

AC•AY

①，

BY

CX

=

S△BAY

S△CAX

=

1 2 AB•AY•sin∠BAY

1 2 AC•AX•sin∠CAX

=

AB•AY

AC•AX

②，
①×②得：

BX•BY

CX•CY

=

AB•AX•AB•AY

AC•AY•AC•AX

=

AB2

AC2

．

点评：此题主要考查了面积及等积变换，利用

BX

CY

=

S△ABX

S△ACY

，

BY

CX

=

S△BAY

S△CAX

求出是解题关键．