Question

如图，⊙O内接△ABC，∠ACB=45°，∠AOC=150°，AB的延长线与过点C的切线相交于点D，若⊙O的半径为1，则BD的长是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：连接OB．根据圆周角定理求得∠AOB=2∠ACB=90°，再根据等腰直角三角形AOB求得AB的长；根据等边三角形OBC求得BC的长；根据等角对等边可以求得CD=BC=1，最后根据切割线定理即可求解．
解答：解：连接OB，
∵∠ACB=45°，∠AOC=150°，
∴∠AOB=90°，∠BOC=60°，
又OA=OB=OC=1，
∴△AOB是等腰直角三角形，△OBC是等边三角形，∠OAC=∠OCA=75°，
∴AB=，BC=1，∠OAB=45°，∠OCB=60°．
∵CD切圆于点C，
∴∠OCD=90°，
∴∠CAD=30°，∠ACD=75°，
∴∠D=75°，
∴CD=BC=1．
根据切割线定理，得CD²=BD•AD，
设BD=x，则有x（x+）=1，
x²+x-1=0，
x=（负值舍去）．
故选C．
点评：此题综合运用了圆周角定理、等腰直角三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、切割线定理．