Question

如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，以点B为旋转中心，将△ABP顺时针旋转，使点A与点C重合，这时P点旋转至G点，试画出旋转后的图形，然后猜一猜△PCG的形状，并说明理由，最后算一算∠APB的度数．

Answer 1

解：△PCG是直角三角形．
理由：如图，连接PG，
∵△BCG是△ABP顺时针旋转得到，
∴CG=AP=1，BG=PB=2，
又∵旋转后A与C重合∠ABC=90°，
∴∠PBG=90°，
在Rt△PBG中，PG===2，
又∵（2）²+1²=3²=9，
即PG²+CG²=PC²，
∴△PCG是直角三角形；
∵PG²+CG²=PC²，
∴∠PGC=90°，
又∵PB=PG，∠PBG=90°，
∴∠PGB=45°，
∴∠BGC=∠PGC+∠PGB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠BGC=135°．
分析：根据旋转的性质，CG=PA，BG=PB，再判断出△PBG是等腰直角三角形，然后利用勾股定理列式求出PG，再利用勾股定理逆定理判断出△PCG是直角三角形；先求出∠BGC的度数，然后根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得∠APB=∠BGC即可得解．
点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键，作出图形更形象直观．