Question

13．如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结ED，且延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：BC=FC
（2）若AE：EB=1：3，CD=6，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接BD，由等角的余角相等，易证得∠F=∠EBD．由弦切角定理，易证得∠F=∠CDF．可得CD=CF，又由切线长定理，可得CD=CB，继而可证得BC=FC；
（2）由AE：EB=1：3，设AE=2x，则EB=6x，OE=OD=3x，在Rt△ADO中由勾股定理得AD=4x，再由锐角三角形函数列方程求得．

解答 （1）证明：连接OD，BD、因为AC与⊙O切于点D，则OD⊥AC，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
又∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠BDC=∠CBD，
∴DC=BC，
∵BE是直径，
∴∠BDF=∠BDC+∠FDC=90°，
又∵∠CBD+∠F=90°，
∴∠F=∠FDC，
∴DC=CF，
又∵由上面证明可知DC=BC，
∴CF=BC；

（2）解：AE：EB=1：3，
设AE=2x，
则EB=6x，OE=OD=3x，
在Rt△ADO中由勾股定理得AD=4x，
∵tanA=$\frac{OD}{AD}$=$\frac{3x}{4x}$=$\frac{3}{4}$，tanA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{6}{8x}$，
∴x=4，
∴AD=4．

点评 此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、弦切角定理、切线长定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．