Question

I为△ABC的内心．取△IBC，△ICA，△IAB的外心O₁，O₂，O₃．求证：△O₁O₂O₃与△ABC有公共的外心．

Answer 1

证明：连接AO并延长交△ABC的外接圆于M，连接BM，CM，BI，
∵I为△ABC的内心，
∴∠IAB=∠IAC，∠IBA=∠IBC，
∴弧BM=弧CM，
∴BM=CM，∠IAB=∠IAC=∠MBC，
∵∠BIM=∠BAM+∠IBA，∠IBM=∠IBC+∠MBC，
∴∠BIM=∠IBM，
∴BM=IM，
即：BM=IM=MC，
∴M是△IBC的外接圆的圆心，
∵△IBC的外心是O₁，
∴O₁与M重合，
即O₁在△ABC的外接圆上，
同理：O₂、O₃也在△ABC的外接圆上，
∴△O₁O₂O₃与△ABC有公共的外心．
分析：连接AO并延长交△ABC的外接圆于M，连接BM，CM，BI，根据内心的定义和三角形的外角性质推出∠BIM=∠IBM和BM=CM，即可证出BM=IM=MC，得到M是△IBC的外接圆的圆心，即与O₁重合（也就是说O₁在△ABC的外接圆上），同理：O₂、O₃也在△ABC的外接圆上，即可得出答案．
点评：本题主要考查了三角形的外角性质，圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的外接圆和外心，三角形的内切圆和内心，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是正确作出辅助线，求出O₁与△IBC的外接圆的圆心M重合，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．