Question

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为D（1，1），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、C两点，且A（0，2），直线与x轴的交点为B，满足sin∠ABO=

5

5

，点P是线段AC上一动点，且不与A，C两点重合，PG∥y轴交抛物线于点G．
（1）求k，m和这个二次函数的解析式；
（2）点E是直线BC与抛物线对称轴的交点，当△PGE∽△AOB时，求点P的坐标；
（3）若PG=

21

16

时，另外一点F在抛物线上，当S_△ACF=S_△ACG时，求点F的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线的顶点设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+1，把A的坐标代入即可求得a，进而求得抛物线的解析式，根据sin∠ABO=

5

5

，求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得k，m；
（2）先求得直线AB的解析式，设P（x，

1

2

x+2），然后求得E的坐标，根据△PGE∽△AOB对应边成比例求得P的横坐标，进而求得纵坐标；
（3）分两种情况讨论求得；

解答：解：（1）∵二次函数图象的顶点坐标为D（1，1），
∴设y=a（x-1）²+1，
∵A（0，2），
∴2=a+1，解得，a=1，
∴二次函数的解析式为：y=x²-2x+2，
∵A（0，2），sin∠ABO=

5

5

，
∴AB=2

5

，
∴BO=4，
∴B（-4，0），
代入y=kx+m得

2=m 0=-4k+m

解得

m=2 k= 1 2

（2）由（1）知

m=2 k= 1 2

∴y=

1

2

x+2，
∵点E是直线BC与抛物线对称轴的交点，抛物线对称轴是x=1，
y=

1

2

+2=

5

2

，
∴点E（1，

5

2

），
∵△PGE∽△AOB，
∴∠PGE=90°，
设P（x，

1

2

x+2），
∴PG=

1

2

x+2-（x²-2x+2）=-x²+

5

2

x，EG=x-1
∵AO=2，BO=4，
∴

AO

PG

=

BO

EG

∴

2

-x2+ 5 2 x，

=

4

x-1

，
解得：x=1+

6

2

，或x=1-

6

2

（舍去），
∴P（1+

6

2

，

10+ 6

4

）；

（3）设P（x，

1

2

x+2），
当F在直线的下方时，PG=

1

2

x+2-（x²-2x+2）=-x²+

5

2

x，
所以-x²+

5

2

x=

21

16

，解得x₁=

3

4

，x₂=

7

4

，
把x₁=

3

4

，x₂=

7

4

，代入y=x²-2x+2，解得y₁=

17

16

，y₂=

25

16

，
所以F（

3

4

，

17

16

）或（

7

4

，

25

16

）；
当F在直线的上方时，PG=x²-2x+2-（

1

2

x+2）=x²-

5

2

x，
所以x²-

5

2

x=

21

16

，解得：x₃=

5+ 46

4

，x₄=

5- 46

4

，
把x₃=

5+ 46

4

，x₄=

5- 46

4

代入y=x²-2x+2，解得：y₃=

63+2 46

16

，y₄=

63-2 46

16

；
所以F（

5+ 46

4

，

63+2 46

16

）或（

5- 46

4

，

63-2 46

16

）

点评：本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，三角形相似的性质，三角形的面积，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．