Question

1．在?ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，BC=8，将?ABCD绕AD边上任意一点P逆时针旋转（点P不与A、D重合），得到?A′B′C′D′，且点C′落在CD（或其延长线上），如图所示．
（1）如图1，当旋转角为30°时，求PD的长．
（2）当旋转角度数为n（0°＜n＜120°）时，PD=$\frac{2\sqrt{3}}{tan（30°+\frac{1}{2}n）}$+2（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接PC、PC′作PN⊥CD于N，CM⊥AD于M，首先证明∠CPM=45°推出CM=PM，求出PM，DM即可解决问题．
（2）分两种情形①如图1中，当C′在CD上时，②如图2中，当点C′在线段CD的延长线时，连接PC、PC′作PN⊥CD于N，CM⊥AD于M，分别在RT△PCM，RT△CMD中解三角形即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，连接PC、PC′作PN⊥CD于N，CM⊥AD于M，
∵PC=PC′，∠CPC′=30°，
∴∠PC′C=∠PCC′=75°，
∵∠PC′C=∠PDC+∠DPC′，∠B=∠D=60°，
∴∠DPC′=15°，
∴∠CPM=45°，
∵∠CMP=90°，
∴∠CPM=∠PCM=45°，
∴PM=CM，
在RT△CMD中，∵∠CMD=90°，CD=4，∠D=60°，
∴DM=$\frac{1}{2}$CD=2，CM=PM=2$\sqrt{3}$，
∴PD=2+2$\sqrt{3}$，
（2）①如图1中，当C′在CD上时，由（1）可知，∠CPC′=n，则∠PC′C=90°-$\frac{1}{2}$n，
∠DPC′=90°-$\frac{1}{2}$n-60°=30°-$\frac{1}{2}$n，∠CPM=30°-$\frac{1}{2}$n+n=30°+$\frac{1}{2}$n，
∴PD=PM+DM=$\frac{2\sqrt{3}}{tan（30°+\frac{1}{2}n）}$+2．
②如图2中，当点C′在线段CD的延长线时，连接PC、PC′作PN⊥CD于N，CM⊥AD于M，
同理可得∠CPM=30°+$\frac{1}{2}$n，
∵0＜n＜120°，
∴∠CPM＜90°，
PD=PM+DM=$\frac{2\sqrt{3}}{tan（30°+\frac{1}{2}n）}$+2，
综上所述PD=$\frac{2\sqrt{3}}{tan（30°+\frac{1}{2}n）}$+2．
故答案为$\frac{2\sqrt{3}}{tan（30°+\frac{1}{2}n）}$+2．

点评 不通考查旋转变换、平行四边形的性质，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为解直角三角形问题，属于中考常考题型．