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    （2013•宝应县模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-
    4
    3
    x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，OD=
    1
    4
    OB，AC=
    1
    4
    AB，过点C作CE⊥OA于点E，点M从点C出发，沿CD方向运动，过点M作MN⊥OA于点N，过点N作NP∥AB，交OB于点P，当点N与点O重合时点M停止运动．设AN=a．
    （1）求点C的坐标；
    （2）用含a的代数式表示NP；
    （3）是否存在点M，使△MNP为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）先求出一次函数y=-
    4
    3
    x+8的图象与x轴，y轴的交点A、B的坐标，得到OA=6，OB=8，由勾股定理求出AB=10，再由已知条件得出CE=OD=2，AC=
    5
    2
    ，运用勾股定理求出AE，进而得到点C的坐标；
    （2）先由OD=
    1
    4
    OB，AC=
    1
    4
    AB，证明NP∥AB，再根据平行线分线段成比例定理得出
    ON
    OA
    =
    NP
    AB
    ，即可用含a的代数式表示NP；
    （3）因为由已知条件得出a=4.5时，点P与点D重合，所以分两种情况讨论：①0≤a＜4.5，②4.5＜a＜6，两种情况都可以先由NP∥AB，得出
    ON
    OA
    =
    OP
    OB
    ，则用含a的代数式表示出OP，求出PD，再由勾股定理表示出PM2，然后根据腰长相等列出关于a的方程，解方程检验即可．
    解答：解：（1）∵一次函数y=-
    4
    3
    x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，
    ∴点A的坐标为：（6，0），点B的坐标为：（0，8），
    ∴OA=6，OB=8，
    ∴AB=
    		OA2+OB2
    =10，
    ∴OD=
    1
    4
    OB=2，AC=
    1
    4
    AB=
    5
    2
    ，
    ∴OD：OB=AC：AB=1：4，
    ∴CD∥OA，
    ∵CE⊥OA，MN⊥OA，OA⊥OB，
    ∴四边形ODCE与四边形ODMN是矩形，
    ∴MN=CE=OD=2，DM=ON，
    ∴AE=
    		AC2-CE2
    =
    3
    2
    ，
    ∴OE=OA-AE=6-
    3
    2
    =
    9
    2
    ，
    ∴点C的坐标为：（
    9
    2
    ，2）；

    （2）∵NP∥AB，
    ∴
    ON
    OA
    =
    NP
    AB
    ，
    ∵AN=a，
    ∴ON=OA-AN=6-a，
    ∴
    NP
    10
    =
    6-a
    6
    ，
    解得：NP=
    30-5a
    3
    ；

    （3）存在点M，能够使△MNP为等腰三角形，理由如下：
    过点D作DQ∥AB交OA于Q，则
    OQ
    OA
    =
    OD
    OB
    ，即
    OQ
    6
    =
    2
    8
    ，
    解得OQ=1.5，
    ∴AQ=OA-OQ=6-1.5=4.5．
    ∴当a=4.5时，点P与点D重合，此时△MNP不是等腰三角形．
    分两种情况讨论：
    ①当0≤a＜4.5，即点P在点D上方时，如右图．
    ∵NP∥AB，
    ∴
    ON
    OA
    =
    OP
    OB
    ，
    ∴
    OP
    8
    =
    6-a
    6
    ，
    解得：OP=
    24-4a
    3
    ，
    ∴PD=OP-OD=
    18-4a
    3
    ，
    ∴PM2=PD2+DM2=（
    18-4a
    3
    ）2+（6-a）2=
    25a2-252a+648
    9
    ．
    由于PN＞MN，所以当△MNP为等腰三角形时，可能有两种情况：
    当PM=MN时，
    25a2-252a+648
    9
    =4，解得a1=4.08，a2=6（不合题意，舍去）；
    当PM=PN时，
    25a2-252a+648
    9
    =（
    30-5a
    3
    ）2，解得a=5.25（不合题意，舍去）；
    ②当4.5＜a＜6，即点P在点D下方时，如右图．
    ∵NP∥AB，
    ∴
    ON
    OA
    =
    OP
    OB
    ，
    ∴
    OP
    8
    =
    6-a
    6
    ，
    解得：OP=
    24-4a
    3
    ，
    ∴PD=OD-OP=
    4a-18
    3
    ，
    ∴PM2=PD2+DM2=（
    4a-18
    3
    ）2+（6-a）2=
    25a2-252a+648
    9
    ．
    当△MNP为等腰三角形时，可能有三种情况：
    当PM=MN时，
    25a2-252a+648
    9
    =4，解得a1=4.08，a2=6（均不合题意，舍去）；
    当PM=PN时，
    25a2-252a+648
    9
    =（
    30-5a
    3
    ）2，解得a=5.25；
    当PN=MN时，
    30-5a
    3
    =2，解得a=4.8．
    综上可知，存在点M，能够使△MNP为等腰三角形，此时满足要求的a的值为4.08或4.8或5.25．
    点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：平面直角坐标系中点的坐标的求法，勾股定理，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，注意问题（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解，这是解决本题的关键．
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