Question

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（8，4）．过点D（0，6）和E（12，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

解：（1）设直线DE的解析式为y=kx+b，
∵点D，E的坐标为（0，6）、（12，0），
∴；
解得k=-，b=6；
∴y=-x+6；
∵点M在AB边上，B（8，4），而四边形OABC是矩形，
∴点M的纵坐标为4；
又∵点M在直线 y=-x+6上，
∴4=-x+6；
∴x=4；
∴M（4，4）；

（2）∵（x＞0）经过点M（4，4），
∴m=16；
∴y=；
又∵点N在BC边上，B（8，4），
∴点N的横坐标为8；
∵点N在直线 y=-x+6上，
∴y=2，
∴N（8，2）
∵当x=8，y=2
∴点N在函数y= 的图象上；

（3）当反比例函数 （x＞0）的图象经过点M（4，4），N（8，2）时，m的值最小，此时m=xy=16，
当反比例函数 （x＞0）的图象通过B（8，4）时，m的值最大，此时m=xy=32，
∴16≤m≤32．
分析：（1）设直线DE的解析式为y=kx+b，直接把点D，E代入解析式利用待定系数法即可求得直线DE的解析式，先根据矩形的性质求得点M的纵坐标，再代入一次函数解析式求得其横坐标即可；
（2）利用点M求得反比例函数的解析式，根据一次函数求得点N的坐标，再代入反比例函数的解析式判断是否成立即可；
（3）满足条件的最内的双曲线的m=16外的双曲线的m=32，以可得其取值范围．
点评：此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点与反比例函数的k值之间的关系，并会根据函数解析式和点的坐标验证某个点是否在函数图象上．