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已知:抛物线,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边.
(1)求证:抛物线与x轴必有两个不同交点;
(2)设直线y=ax-bc与抛物线交于E、F两点,与y轴交于点M,抛物线与y轴交于点N,若抛物线的对称轴为x=a,△MNE与△MNF的面积比为5:1,求证:△ABC是等边三角形;
(3)在(2)的条件下,设△ABC的面积为,抛物线与x轴交于点P、Q,问是否存在过P、Q两点且与y轴相切的圆?若存在,求出圆的圆心坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)令y=0,用根的判别式和三角形三边关系即可证得;
(2)先根据抛物线的对称轴求出a、b的关系.然后联立抛物线与直线l的解析式,求出E、F的横坐标,已知△MNE的面积是△MNF的面积的5倍,根据等底三角形的面积比等于高的比,由此可得出E的横坐标是F的横坐标的5倍,由此可求出a、c的关系,由此可求出三角形ABC的形状为等边三角形,得证;
(3)由(2)得到三角形ABC为等边三角形,根据面积求出等边三角形的边长,即可得到三角形ABC的边长,即得到a=b=c的值,代入确定出抛物线解析式,令解析式中的y=0,求出x的值,即可得到P和Q的横坐标,确定出两点的坐标,即可求出PQ的长,设圆H为满足题意的圆,根据P与Q关于对称轴对称,得到HJ垂直于PQ,根据垂径定理得到J为PQ中点,即可求出PJ的长,又圆心H在x=2上,且圆H与y轴相切,得到圆心H的横坐标为2,且圆H的半径为2,即HP=2,在直角三角形HPJ中,根据勾股定理求出HJ的长,即为圆心H的纵坐标,写出圆心H坐标即可.
解答:(1)证明:令y=0,则有x2-(a+b)x+=0,
∴△=(a+b)2-c2
由于a、b、c分别是△ABC的三边,
∴a+b>c>0,
∴(a+b)2>c2
∴△>0,
因此抛物线总与x轴有两个交点.

(2)证明:由题意知:x==a,因此a=b.
设E点的横坐标为m,F点的横坐标为n,
联立抛物线和直线y=ax-bc可得:x2-2ax+=ax-ac,
即x2-3ax+=0,
∴m=,n=
由题意可知:m=5n;
即3a+=15a-5
即5a2-4ac-c2=0,
解得a=-(不合题意舍去),a=c,
因此a=b=c,△ABC为等边三角形;

(3)解:存在过P、Q两点且与y轴相切的圆,理由如下:
∵△ABC为等边三角形,设边长为m,则边上的高为m,
∴S△ABC=m2=,即m2=4,解得m=2,
则a=b=c=2,抛物线解析式为y=x2-4x+1,
令y=0,得到x2-4x+1=0,解得x1=2-,x2=2+
∴P(2-,0),Q(2+,0),PQ=2
∵HJ⊥PQ,∴PJ=QJ=PQ=
∵P与Q关于抛物线的对称轴x=2对称,且过P和Q的圆与y轴相切于I,
∴HI=2,即圆的半径为2,则HP=2,
在Rt△PHJ中,根据勾股定理得:HJ2=PH2-PJ2
即HJ==1,
则圆心H坐标为(2,1)或(2,-1).
点评:本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理、函数图象交点、垂径定理,直线与圆相切的性质等知识点;本题有一定的难度,综合性较强,常综合多个考点和数学思想方法,因而解答时需“分解题意”,即将一个大问题分解为一个一个小问题,从而解决问题.本题第三问根据等边三角形ABC的面积求出边长,从而得到a,b及c的值,确定出抛物线的解析式是解题的突破点.
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