Question

9．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．
（1）求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；
（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以表示出M的友谊数，然后作差再除以15即可解答本题；
（2）根据题意可以表示出N和N的团结数，然后作差即可解答本题．

解答 解：（1）由题意可得，
设M为100a+10b+c，则它的友谊数为：100b+10a+c，
（100a+10b+c）-（100b+10a+c）
=100a+10b+c-100b-10a-c
=100（a-b）+10（b-a）
=90（a-b），
∵$\frac{90（a-b）}{15}=6（a-b）$，
∴M与其“友谊数”的差能被15整除；
（2）由题意可得，
N=2×100+10a+b=200+10a+b，
N的团结数是：10×2+a+10a+2+10×2+b+10×b+2+10a+b+10b+a=22a+22b+44，
∴22a+22b+44-（200+10a+b）=24，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
即N是284或218．

点评 本题考查因式分解的应用、解二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．