Question

如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB=BC=4，在边BC上存在一动点P（不与B，C重合），
（1）若CD=0.5，且∠APD=90°，求BP的长；
（2）如图2，若PB=1，且∠PAD=45°，求CD的长；
（3）若∠APD=90°，则AD的最小值为

 

．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）证△BAP∽△CPD，得出比例式，代入后求出即可；
（2）过A作AF⊥CD交CD的延长线于飞，延长CD到E，使EF=BP，连接AE，证△ABP≌△AFE，求出AP=AE，∠BAP=∠EAF，求出∠EAD=∠PAD，证△PAD≌△EAD，推出DP=DE，根据勾股定理得出方程，求出即可；
（3）根据勾股定理得出关于x的方程，求出函数的最值即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是直角梯形，∠APD=90°，
∴∠B=∠C=∠APD=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°，∠APB+∠DPC=90°，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△BAP∽△CPD，
∴

AB

CP

=

BP

CD

，
∴

4

4-BP

=

BP

1.5

，
解得：BP=2±

2

； 

（2）过A作AF⊥CD交CD的延长线于飞，延长CD到E，使EF=BP，连接AE，
∵AB=BC，∠B=∠C=∠AFC=90°，
∴四边形ABCF是正方形，
∴AB=AF=CF=4，∠B=∠AFE=∠BAF=90°，
在△ABP和△AFE中，

AB=AF ∠B=∠AFE BP=EF

，
∴△ABP≌△AFE（ASA），
∴AP=AE，∠BAP=∠EAF，
∵∠BAF=90°，∠PAD=45°，
∴∠BAP+∠FAD=45°，
∴∠EAD=∠EAF+∠DAF=∠BAP+∠DAF=45°=∠PAD，
在△PAD和△EAD中，

AP=AE ∠PAD=∠EAD AD=AD

，
∴△PAD≌△EAD（SAS），
∴DP=DE=DF+EF=DF+BP=DF+1，
设PD=DF=x，则CD=CE-DE=4-（x-1）=5-x，
CP=CB-BP=4-1=3，
在Rt△DCP中，由勾股定理得：x²=（5-x）²+3²，
解得：x=3.4，
则CD=5-3.4=1.6；

（3）
过A作AE⊥CD于E，
则∠B=∠C=∠E=90°，
∵AB=BC=4，
∴四边形ABCE是正方形，
∴AE=CE=4，
∵设BP=x，由（1）知：

AB

BP

=

PC

CD

，
∴

4

x

=

4-x

CD

，
∴CD=x-

1

4

x²，
∴DE=4-CD=4-（x-

1

4

x²）=

1

4

x²-x+4，
在Rt△AED中，由勾股定理得：
AD²=AE²+DE²
=4²+（

1

4

x²-x+4）²
=4²+[

1

4

（x-2）²+3]²，
∵要是AD取最小值，
∴必须x-2=0，
即x=2，
代入得：AD²=4²+[

1

4

(2-2)2+3]²=4²+3²=25，
即AD的最小值是5，
故答案为：5．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，函数的最值的应用，题目是一道比较好的题目，有一定的难度．