Question

在△ABC中，AB=AC，∠ABC＞60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°-

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∠BDC，试猜想AC、BD、DC三者之间的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：先延长BD至E，使DE=DC，连接AE，由于∠ADE+∠ADB=180°，∠ADB=90°-

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∠BDC，易求∠ADE=90°+

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∠BDC，而∠ADC=∠ADB+∠BDC，∠ADB=90°-

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∠BDC，易求∠ADC=90°+∠BDC，从而有∠ADE=∠ADC，结合DE=DC，AD=AD，可证△ACD≌△AED，那么AC=AE=AB，从而可知△ABE为等边三角形，而BE=BD+DE=BD+DC，那么AC=BD+DC．

解答：解：结论：AC=BD+DC．
延长BD至E，使DE=DC，连接AE，
∵∠ADE+∠ADB=180°，∠ADB=90°-

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∠BDC，
∴∠ADE=90°+

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∠BDC，
∵∠ADC=∠ADB+∠BDC，∠ADB=90°-

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∠BDC，
∴∠ADC=90°+

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∠BDC，
∴∠ADE=∠ADC，
又∵DE=DC，AD=AD，
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE=AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB=BE=BD+DE=BD+DC．
即AC=BD+DC．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质．解题的关键是证明∠ADE=∠ADC．