Question

⊙O的半径为1，弦AB=，弦AC=，则∠CAB的度数为

1. A.
   15°
2. B.
   30°
3. C.
   45°
4. D.
   15°或75°

Answer 1

D
分析：首先根据题意画出图形，注意分为弦AB与弦AC在圆心的同侧与异侧，然后连接OA，OB，过点O作OD⊥AC于D，由垂径定理，可求得AD的长，然后由勾股定理的逆定理，可判定△AOB是等腰直角三角形，则可求得∠BAO的度数，由三角函数可求得∠OAD的度数，继而求得答案．
解答：解：如图1，连接OA，OB，过点O作OD⊥AC于D，
∵⊙O的半径为1，弦AB=，弦AC=，
∴OA=OB=1，AD=AC=，
∴OA²+OB²=AB²，
∴∠AOB=90°，
∴∠BAO=45°，
在Rt△AOD中，cos∠OAD==，
∴∠OAD=30°，
∴∠BAC=∠BAO+∠OAD=75°；
如图2，连接OA，OB，过点O作OD⊥AC于D，
∵⊙O的半径为1，弦AB=，弦AC=，
∴OA=OB=1，AD=AC=，
∴OA²+OB²=AB²，
∴∠AOB=90°，
∴∠BAO=45°，
在Rt△AOD中，cos∠OAD==，
∴∠OAD=30°，
∴∠BAC=∠BAO-∠OAD=15°．
∴∠CAB的度数为：75°或15°．
故选D．
点评：此题考查了垂径定理、勾股定理的逆定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．