Question

（2013•海宁市模拟）如图，二次函数的图象经过点A（-1，0）和点B，交y轴于点C，顶点为D（1，4）．矩形EFGH的顶点E、F在线段AB上，点G、H在这个二次函数的图象上．设点E的坐标为（m，0）．（m＜1）
（1）求点C的坐标；
（2）当m为何值时，矩形EFGH的周长最大，并求出这个最大值；
（3）设m²-2m=n，若以GH为直径的⊙P经过点C时，试判断⊙P与y轴的位置关系，并求出n的值．

Answer 1

分析：（1）由抛物线的顶点坐标为D（1，4），可设这个二次函数的解析式为y=a（x-1）²+4，将A点（-1，0）代入，运用待定系数法求出此二次函数的解析式，进而得出与y轴交点C的坐标；
（2）设矩形EFGH的周长为l，过点D作DM⊥AB于点M，则EF=2-2m，HE=-m²+2m+3，根据矩形的周长公式得出l=2（EF+HE）=-2m²+10，再根据二次函数的性质，即可求出m=0时，矩形EFGH的周长有最大值是10；
（3）由于点C在y轴上，所以当以GH为直径的⊙P经过点C时，⊙P与y轴有一个或两个交点．分两种情况讨论：①当⊙P与y轴只有一个交点C时，⊙P与y轴相切，切点为C，此时点H与点C重合，则m=0，所以n=m²-2m=0；②当⊙P与y轴有两个交点时，⊙P与y轴相交，设GH交y轴于点N，连接CP，则PN=1，CP=1-m，CN=OC-ON=3-（-m²+2m+3）=m²-2m，在Rt△CPN中运用勾股定理，得CN²+PN²=CP²，即（m²-2m）²+1²=（1-m）²，即可求出n=1．

解答：解：（1）设这个二次函数的解析式为y=a（x-1）²+4，
把x=-1，y=0代入，得0=4a+4，解得a=-1，
∴y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，
∴点C的坐标为（0，3）；

（2）设矩形EFGH的周长为l，过点D作DM⊥AB于点M，如图，
则EM=FM=1-m，EF=2（1-m）=2-2m．
当x=m时，y=-m²+2m+3，
∴HE=-m²+2m+3，
∴l=2（EF+HE）=2（2-2m-m²+2m+3）=-2m²+10，
∴当m=0时，l有最大值，l的最大值为10．
即当m=0时，矩形EFGH的周长最大，这个最大值是10；

（3）①当⊙P与y轴只有一个交点C时，⊙P与y轴相切，如图，
此时点H与点C重合，
∴m=0，
∴n=m²-2m=0；
②当⊙P与y轴有两个交点时，⊙P与y轴相交，且-1＜m＜1．
设GH交y轴于点N，连接CP，如图，
则PN=1，CP=HP=1-m，ON=HE=-m²+2m+3，
∴CN=OC-ON=3-（-m²+2m+3）=m²-2m．
∵GH⊥y轴，
∴CN²+PN²=CP²，
∴（m²-2m）²+1²=（1-m）²，
∴（m²-2m）²=m²-2m，即n²=n．
∵n=m²-2m≠0，
∴n=1．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．