Question

9．如图所示，已知△ABC与△A′B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′，且$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$，∠B=∠B′，试说明△ABC∽△A′B′C′．

Answer 1

分析 先证明△ABD∽△A′B′D′，得出∠BAD=∠B′A′D′，$\frac{AD}{A′D′}=\frac{AB}{A′B′}$，证出$\frac{AD}{A′D′}=\frac{AC}{A′C′}$，再证明Rt△ADC∽Rt△A′D′C′，得出对应角相等∠DAC=∠D′A′C′，得出∠BAC=∠B′A′C′，即可得出结论．

解答 证明：∵AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′，
∴∠ADB=∠ADC=∠A′D′B′=∠A′D′C′=90°，
∵∠B=∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴∠BAD=∠B′A′D′，$\frac{AD}{A′D′}=\frac{AB}{A′B′}$，
∵$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$，
∴$\frac{AD}{A′D′}=\frac{AC}{A′C′}$，
∴Rt△ADC∽Rt△A′D′C′，
∴∠DAC=∠D′A′C′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
又∵$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$，
∴△ABC∽△A′B′C′．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．