Question

在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S．证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似．

Answer 1

解：设O₁，O₂，O₃是△APS，△BQP，
△CSQ的外心，作出六边形
O₁PO₂QO₃S后再由外
心性质可知
∠PO₁S=2∠A，
∠QO₂P=2∠B，
∠SO₃Q=2∠C．
∴∠PO₁S+∠QO₂P+∠SO₃Q=360°．
从而又知∠O₁PO₂+∠O₂QO₃+∠O₃SO₁=360°
将△O₂QO₃绕着O₃点旋转到△KSO₃，易判断△KSO₁≌△O₂PO₁，
同理可得△O₁O₂O₃≌△O₁KO₃．
∴∠O₂O₁O₃=∠KO₁O₃=∠O₂O₁K
=（∠O₂O₁S+∠SO₁K）
=（∠O₂O₁S+∠PO₁O₂）
=∠PO₁S=∠A；
同理有∠O₁O₂O₃=∠B．
故△O₁O₂O₃∽△ABC．
分析：设O₁，O₂，O₃是△APS，△BQP，△CSQ的外心，作出六边形，即可判定△KSO₁≌△O₂PO₁，同时可得△O₁O₂O₃≌△O₁KO₃，再求证∠O₁O₂O₃=∠B即可得△O₁O₂O₃∽△ABC．
点评：本题考查了相似三角形的证明，考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了周角为360°的性质，考查了全等三角形的证明，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证∠O₁O₂O₃=∠B是解题的关键．