Question

在△ABC中，∠ACB=90°，CB=a，CA=b，AB=c点P是BC上异于B、C的任一点，过P作AB的垂线与边AB及AC的延长线分别交于R、Q．
（1）设PC=x，△PQC、△PBR的面积分别为S₁、S₂，试用x、a、b、c表示S₁+S₂；
（2）当点P在BC上移动时，问x取何值时，有S₁+S₂最小值？并求出这个最小值．

Answer 1

分析：（1）由题中条件可得Rt△BPR∽△BAC，Rt△QPC∽Rt△BAC由对应线段成比例可得线段BR、PR、QC的值，进而可求其面积；
（2）若使其面积之和最小，则只需（a-x）²=0，即x=a即可．

解答：解：（1）由题中条件可得Rt△BPR∽△BAC，∴

BP

AB

=

BR

BC

=

PR

AC

，即

a-x

c

=

BR

a

=

PR

b

，BR=

a(a-x)

c

，PR=

b(a-x)

c

，
同理Rt△QPC∽Rt△BAC，∴

QC

BC

=

PC

AC

，即

QC

a

=

x

b

，QC=

ax

b

，
∴S₁+S₂=

1

2

PC•QC+

1

2

BR•PR=

1

2

（x•

ax

b

+

ab(a-x)2

c

）

（2）S₁+S₂=

1

2

PC•QC+

1

2

BR•PR=

1

2

（x•

ax

b

+

ab(a-x)2

c

）=

acx2+ab2(a-x)2

2bc

，
若使S₁+S₂取最小值，则有（a-x）²=0，即x=a，即点P运动到点B时，其值最小，
S₁+S₂=

acx2

2bc

=

a3

2b

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及三角形面积的求解，能够在掌握的基础上熟练掌握．