Question

在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AF⊥BC于点F，点O在AF上，⊙O经过点F，并分别与AB、AC边切于点D、E．
（1）求△ADE的周长；
（2）求内切圆的面积．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC，BC=12，AF⊥BC于点F，所以BF=FC=6．由⊙O经过点F，并分别与AB、AC边切于点D、E．所以BD=BF=6，CE=CF=6．由AB=AC=10，所以AD=AE=4，AD：AB=AE：AC，DE∥BC，DE：BC=AD：AB，即DE：12=4：10，DE=4.8，而求得．
（2）由AF⊥BC于点F，所以∠AFB=90°．由AB=10，BF=6，得AF=

AB2-BF2

=8．因为⊙O与AC边切于点D，得∠ADO=90°．∠ADO=∠AFB，且OD=OF．又∠OAD=∠BAF，得△ADO∽△AFB，所以AO：AB=OD：BF，从而求得．

解答：解：（1）∵AB=AC，BC=12，AF⊥BC于点F，
∴BF=FC=6．
∵⊙O经过点F，并分别与AB、AC边切于点D、E．
∴BD=BF=6，CE=CF=6．
∵AB=AC=10，
∴AD=AE=4，∴AD：AB=AE：AC，∴DE∥BC，
∴DE：BC=AD：AB，即DE：12=4：10，∴DE=4.8，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=4+4+4.8=12.8．

（2）∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB=90°．
∵AB=10，BF=6，∴AF=

AB2-BF2

=8．
∵⊙O与AC边切于点D，∴∠ADO=90°．
∴∠ADO=∠AFB，且OD=OF．
∵∠OAD=∠BAF，∴△ADO∽△AFB，
∴AO：AB=OD：BF，
即（8-OD）：10=OD：6，∴OD=3，
∴S_⊙O=π•OD²=9π．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心，解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出相关的边长或角的度数．