Question

10．已知α、β是方程3x²+4|x|-4=0的两个实数根，且α＞β，求代数式$\frac{（α-2）^{3}-（α-1）^{2}+1}{{α}^{2}-4α+4}$÷$\frac{2β}{2{β}^{2}+4β}$的值．

Answer 1

分析 先解含绝对值的方程，计算出α、β，再化简分式，将α、β的值代入整理后的代数式．

解答 解：∵方程3x²+4|x|-4=0，可转化为3|x|²+4|x|-4=0
所以（3|x|-2）（|x|+2）=0
所以3|x|-2=0或|x|+2=0
即|x|=$\frac{2}{3}$或|x|=-2（方程无实数根）
解得：x=±$\frac{2}{3}$
因为α、β是方程3x²+4|x|-4=0的两个实数根，且α＞β，
∴α=$\frac{2}{3}$，β=-$\frac{2}{3}$．
∵$\frac{（α-2）^{3}-（α-1）^{2}+1}{{α}^{2}-4α+4}$÷$\frac{2β}{2{β}^{2}+4β}$
=$\frac{（α-2）^{3}-[（a-2）+1]^{2}+1}{{a}^{2}-4a+4}$×$\frac{2β（β+2）}{2β}$
=$\frac{（a-2）^{3}-（a-2）^{2}-2（a-2）}{（α-2）^{2}}$×（β+2）
=$\frac{（α-4）（α-1）}{a-2}$×（β+2）
当α=$\frac{2}{3}$，β=-$\frac{2}{3}$时，
原式=$\frac{（\frac{2}{3}-4）（\frac{2}{3}-1）}{（\frac{2}{3}-2）}（-\frac{2}{3}+2）$
=-$\frac{5}{6}$×$\frac{4}{3}$
=-$\frac{10}{9}$．

点评 本题考查了一元二次方程的解法、分式的乘除及分式的化简．解决本题的关键是求出含绝对值方程的两个根，对分式化简．