Question

已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程4x²+4（m-1）x+m²=0的两非零实数根：问x₁与x₂能否同号，若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．

Answer 1

分析：根据方程有两非零实数根，则△≥0，可解得m的取值范围，方程的两根同号，则方程两根的积一定是一个正数，根据根与系数的关系即可得到关于m的不等式，即可求得m的范围．

解答：解：∵方程有两非零实数根，
∴△=16（m-1）²-16m²=16m²-32m+16-16m²=16-32m≥0，
∴m≤

1

2

，
∵x₁+x₂=-

4(m-1)

4

=1-m，x₁x₂=

m2

4

，
∵1-m＞0，

m2

4

＞0，
∴m≠0且m≤

1

2

时，x₁与x₂能同号．

点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系及根与系数的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
（4）若一元二次方程有实数根，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．