Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BD=6，AC=BC=8．
（1）请判断对角线AC与BD的位置关系，说明理由．
（2）求出梯形ABCD的高线DE的长．

Answer 1

解：（1）AC⊥BD．
理由：过D作DF∥AC交BC的延长线于F，
∵AD∥BC，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴CF=AD=2，DF=AC=8，
∴BF=BC+CF=8+2=10，
∵BD²+DF²=6²+8²=100，BF²=10²=100，
∴BD²+DF²=BF²，
∴△BFD是直角三角形，
又∵DF∥AC，
∴AC⊥BD．

（2）在△BFD中，2S_△BFD=BD•DF=BF•DE，
即6×8=10DE
解得：DE=．
分析：过D作DF∥AC交BC的延长线于F，所以四边形ACFD是平行四边形，CF=AD=2．
（1）在△BFD中，BD=6，BC=10，DF=AC=8，根据勾股定理逆定理△BFD是直角三角形，且∠BDF是直角，所以AC⊥BD；
（2）在△BFD中，2S_△BFD=BD•DF=BF•DE，代入数据即可求出DE的长．
点评：本题（1）中利用平行四边形的性质和勾股定理逆定理求解，作对角线AC的平行线构造平行四边形是解题的关键；
（2）中运用等面积法，这种方法在直角三角形中经常运用，同学们需要熟练掌握．