Question

如图，已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：
（1）AD=AE
（2）PC•CE=PA•BE．

Answer 1

分析：（1）连AC、BC，OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD，
即可得到结论；
（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．

解答：证明：（1）连AC、BC，OC，如图，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PD，
而AD⊥PC，
∴OC∥PD，
∴∠ACO=∠CAD，
而∠ACO=∠OAC，
∴∠DAC=∠CAO，
又∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴Rt△ACE≌Rt△ACD，
∴CD=CE，AD=AE；
（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中，∠CPE=∠APD，
∴Rt△PCE∽Rt△PAD，
∴PC：PA=CE：AD，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
而∠DAC=∠CAO，
∴Rt△EBC∽Rt△DCA，
∴BE：CE=CD：AD，
而CD=CE，
∴BE：CE=CE：AD，
∴BE：CE=PC：PA，
∴PC•CE=PA•BE．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理得推理以及三角形相似的判定与性质．