Question

如图，O为正方形ABCD的对角线BD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，交BE的延长线于点G，连接OG，
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）证明：OG=OB；
（3）在图中找出一对相似三角形，并证明（不添辅助线）

Answer 1

（1）证明：在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）证明：∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EBC=∠DBC=22.5°，
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；
∴∠BGD=∠90（三角形内角和定理），
∴∠BGF=90°；
在△DBG和△FBG中，
，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），
∴点G是DF的中点；
又∵O为正方形ABCD的对角线BD的中点，
∴OG是△DBF的中位线，
∴OG=BF=BD；
∵OB=BD，
∴OB=OG；

（3）解：△BGF∽△DCF．理由如下：
在Rt△BGF和Rt△DCF中，
，
∴Rt△BGF∽Rt△DCF．
分析：（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；
（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF；然后由三角形中位线定理证得OG=BF；最后由正方形的对角线互相平分、等量代换即可证得结论；
（3）△BGF∽△DCF．
点评：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．