Question

已知⊙的半径为1，以为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形，顶点的坐标为（，0），顶点在轴上方，顶点在⊙上运动．

（1）当点运动到与点、在一条直线上时，与⊙相切吗？如果相切，请说明理由，并求出所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；

（2）设点的横坐标为，正方形的面积为，求出与的函数关系式，并求出的最大值和最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）CD与⊙O相切，y=（2）S，S的最大值为，S的最小值为  

【解析】（1）CD与⊙O相切。 1分

因为A、D、O在一直线上，∠ADC=90°，

所以∠COD=90°，所以CD是⊙O的切线  3分

CD与⊙O相切时，有两种情况：①切点在第二象限时（如图①），

设正方形ABCD的边长为a，则a²＋（a＋1）²=13，

解得a=2，或a=-3（舍去）                                             4分

过点D作DE⊥OB于E，则Rt△ODE≌Rt△OBA，所以，所以DE=，

OE=，所以点D₁的坐标是（-，）                       5分

所以OD所在直线对应的函数表达式为y=                            6分

②切点在第四象限时（如图②），

设正方形ABCD的边长为b，则b²＋（b－1）²=13，

解得b=-2（舍去），或b=3                                             7分

过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，所以，所以OF=，DF=，所以点D₂的坐标是（，-）                         8分

所以OD所在直线对应的函数表达式为y=                             9分

（2）如图③，

过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，则BD²=BG²＋DG²=（BO－OG）²＋OD²-OG²=                              10分

所以S=AB²=                                          11分

因为-1≤x≤1，所以S的最大值为，

S的最小值为                                                   12分

（1）易证CD是⊙O的切线，根据Rt△ODE∽Rt△OBA得到DE的长，再求出D₁的坐标，根据待定系数法，求出函数解析式；

（2）过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，则BD²=BG²+DG²=（BO-OG）²+OD²-OG²，所以S=AB²= BD²=7+ x，因为-1≤x≤1，所以S的最大值就可以求出．