Question

19．已知△ABC的∠A，∠B和∠C的对边分别是a，b和c，下面给出了五组条件：
①∠A：∠B：∠C=1：2：3；
②a：b：c=3：4：5；
③2∠A=∠B+∠C；
④a²-b²=c²；
⑤a=6，b=8，c=13．
其中能独立判定△ABC是直角三角形的条件的序号分别是①②④（请写出所有的）

Answer 1

分析 由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是90°；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．

解答 解：①∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠C=$\frac{3}{1+2+3}$×180°=90°，故是直角三角形；
②设a=3k，则b=4k，c=5k，（3k）²+（4k）²=（5k）²，故是直角三角形；
③∵2∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=60°，∠B+∠C=120°，不能判定△ABC是直角三角形；
④∵a²-b²=c²，∴b²+c²=a²，∴是直角三角形；
⑤6²+8²≠13²，∴不能判定△ABC是直角三角形．
能独立判定△ABC是直角三角形的条件的序号分别是①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题主要考查三角形内角和，勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．