Question

（2012•台江区模拟）如图，抛物线y=-

12

25

（x²+2x-24）与x轴相交于A、B两点，点H是抛物线的顶点，以AB为直径作圆G交抛物线对称轴于E、F两点．
（1）求顶点H的坐标．
（2）点P是抛物线对称轴（x轴上方）上的一点，且满足⊙P与直线AH和⊙G都相切，求点P的坐标．
（3）过点E作⊙G的切线L．点M、N分别是y轴与直线L上的动点，四边形GMNA的周长是否有最小值？若有，求点M、N的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将抛物线的解析式进行配方，即可得出顶点的坐标．
（2）由（1）的抛物线解析式不难求出A、B两点的坐标，而A、B关于点G对称，由此求得G点的坐标，进而能求出AG、GH、AH的长；然后分两种情况讨论：
①⊙P与⊙G内切，且与直线AH相切时；设⊙P与AH的切点为C，连接CP，由相似三角形：△HPC和△HAG，列出关于HP、CP、AG、AH的比例关系式，由此求出点P的坐标；
②⊙P与⊙G外切，且与直线AH相切时；设⊙P与AH的切点为D，连接DP，后面的思路和解法同①．
（3）在四边形GMNA中，只有GA边是确定的，另外的三边长都不明确，所以在求四边形的最小周长时需要做两个对称点：①作点A关于直线L的对称点A′，②作点G关于y轴的对称点G′；连接A′G′，那么该直线与直线L和y轴的交点即为符合条件的N、M点．

解答：解：（1）∵y=-

12

25

（x²+2x-24）=-

12

25

（x+1）²+12，
∴顶点H（-1，12）．

（2）由y=-

12

25

（x²+2x-24）=-

12

25

（x+6）（x-4）知：A（-6，0）、B（4，0），则：G（-1，0）、E（-1，5）；
在Rt△HAG中，AG=GE=5，HG=12，则：AH=

AG2+GH2

=13；
设PE=x，分两种情况讨论：
①⊙P与⊙G内切，且与直线AH相切；
HE=HG-GE=12-5=7，HP1=7+x；
设⊙P与AH的切点为C，连接CP，如右图，则有：Rt△HCP₁∽Rt△HGA，
∴

CP1

AG

=

HP1

AH

?

x

5

=

7+x

13

，解得：x=

35

8

∴GP₁=GE-EP₁=5-x=

5

8

，P₁（-1，

5

8

）；
②⊙P与⊙G外切，且与直线AH相切；
设⊙P与AH的切点为D，同①可知：

DP2

AG

=

HP2

AH

?

x

5

=

7-x

13

，解得：x=

35

18

∴GP₂=GE+EP₂=5+x=

125

18

，P₂（-1，

125

18

）；
综上，点P的坐标为（-1，

5

8

）或（-1，

125

18

）．

（3）由题意知，直线L：y=5；
作A（-6，0）关于直线L的对称点A′，则：A′（-6，10）；
作G（-1，0）关于y轴的对称点G′，则：G′（1，0）；
连接A′G′，则直线A′G′与y轴、直线L的交点为符合条件的M、N点；
设直线A′G′的解析式为：y=kx+b，代入A′、G′两点的坐标，有：

-6k+b=10 k+b=0

，解得

k=- 10 7 b= 10 7

∴直线A′G′：y=-

10

7

x+

10

7

；
则：M（0，

10

7

）、N（-

5

2

，5）．
综上，四边形GMNA的周长有最小值，此时M（0，

10

7

）、N（-

5

2

，5）．

点评：这道二次函数综合题综合考查了圆与轴对称图形的性质等重要知识点；（2）题中，⊙P、⊙G的内、外切关系要分开进行讨论，连接切点作出相似三角形也是重要的解题思路；最后一题中，根据轴对称图形的性质以及两点间线段最短作出两个对称点是解答题目的关键所在．