Question

在△ABC中，AC=3，BC=4，半径为r的⊙C与AB相切，则r的最大值为

 

；当r=

12

5

时，∠C=

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：若半径为r的⊙C与AB相切，则C到AB的距离等于圆的半径，所以可能是CA⊥AB或BC⊥AB，又因为BC＞AC，所以则r的最大值为4；当r=

12

5

时，利用勾股定理可求出AD的长和BD的长，进而证明△ADC∽△BDC，所以∠ACD=∠B，因为∠B+∠DCB=90°，所以∠ACD+∠DCB=90°，即∠C=90°

解答：解：若半径为r的⊙C与AB相切，则C到AB的距离等于圆的半径，所以可能是CA⊥AB或BC⊥AB，又因为BC＞AC，所以则r的最大值为3，
故答案为：3；
∵半径为r的⊙C与AB相切，
∴CD⊥AB，
∵r=

12

5

，AC=3，
∴AD=

32-( 12 5 )2

 =

9

5

，
同理可求BC=

16

5

，
∴

AD

CD

=

CD

BD

，
∴△ADC∽△BDC，
∴∠ACD=∠B，
∵∠B+∠DCB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
即∠C=90°，
故答案为：90°

点评：本题考查了圆的切线性质、勾股定理的运用以及相似三角形的判定和性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．