Question

在Rt△ABC中，AC=3cm，AB=5cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上．
（1）求BC的长度．
（2）设矩形的一边CF=xcm．当矩形ECFD是3cm²，求矩形的长和宽是多少？

Answer 1

解：（1）∵在Rt△ABC中，由勾股定理，得 
AC²+BC²=AB²，
即   3²+BC²=5²，
解得  BC=4．
答：BC的长度为4cm；                     
（2）∵四边形CFDE是矩形
∴DE∥CF，DE=CF=x，
∵DE∥CF
∴∠AED=∠ACB，∠ADE=∠ABC
∴△ADE∽△ABC                  
∴，
即  ，
解得：CE=3-x．                
∵矩形的面积为3cm²，
∴CF×CE=3，
即   x（3-x）=3，
整理，得  x²-4x+4=0，
（x-2）²=0，
解得  x₁=x₂=2cm．                    
当x=2m时，AD=3-x=AD=3-×2=1.5cm．  
答：这个矩形的长是2cm，宽是1.5cm．
分析：（1）由勾股定理就可以求出BC的值；
（2）根据三角形相似用含x的式子表示出CE，再根据矩形的面积公式建立方程求出x的值就可以得出结论，
点评：本题考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，矩形的面积公式的运用，解答时由相似三角形的性质求出x的值是关键．