Question

已知如图，抛物线y=

1

2

x2+x-4交x轴于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求△ACD的面积；
（2）点M在抛物线对称轴上，若△BCM为直角三角形，求出点M的坐标；
（3）点P在抛物线上，连接AP，若∠PAB=∠ACD，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）令y=0，则

1

2

x²+x-4=0，解方程即可求得与x轴的交点A、B的坐标，令x=0，即可求得交y轴于点C的坐标，把y=

1

2

x²+x-4转化成顶点式即可求得顶点D的坐标，然后求得直线AC的解析式，从而求得与对称轴的交点G，进而求得DG，即可求得△ACD的面积．
（2）由于△BCM中，B、C、M都有可能是直角顶点，所以要分三种情况讨论：①∠BCM=90°，②∠BMC=90°，③∠MBC=90°，在上述三种不同的直角三角形中，根据三角形相似可求得M的坐标．
（3）设P（m，

1

2

m²+m-4），作DE⊥AC于E，根据直线AC的解析式和D的坐标求得直线DE的解析式，进而求得与直线AC的交点，然后根据勾股定理求得DE、CE的长，然后根据△DCE∽△PAF，得出

1 2 m2+m-4

m+4

=3，即可求得m的值，进而求得P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

2

x2+x-4交x轴于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C，
令y=0，则

1

2

x²+x-4=0，解得x₁=-4，x₂=2，
∴A（-4，0），B（2，0），
令x=0，则y=-4，
∴C（0，-4），
∵

1

2

x²+x-4=

1

2

（x+1）²-

9

2

，
∴D（-1，-

9

2

），
∴直线AC的解析式为y=-x-4，
当x=-1时，y=-3，
∴直线AC与对称轴的交点为（-1，-3），
设交点为G，
∴DG=

9

2

-3=

3

2

，
∴S_△ACD=

1

2

×

3

2

×4=3；

（2）设对称轴与x轴的交点为H，
①点B是直角顶点时，易得△BHM∽△COB，
∴

BH

OC

=

MH

OB

，
即

3

4

=

MH

2

，
解得MH=

3

2

，
所以，点M的坐标为（-1，

3

2

）；
②点C是直角顶点时，设CK⊥对称轴，同理求出MK=

1

2

，
所以，MH=4-

1

2

=

7

2

，
所以，点M的坐标为（-1，-

7

2

）；
③点M是直角顶点时，易得△VKM∽△MHB
设M（-1，n），
∴MH=-n，KM=4+n，
∴

KM

BH

=

CK

MH

，
即

4+n

3

=

1

-n

，
解得n=-3，n=-1，
所以M（-1，-3）或（-1，-1）；
综上所述，抛物线的对称轴上存在点M（-1，

3

2

）或（-1，-

7

2

）或（-1，-3）或（-1，-1）．

（3）作DE⊥AC于E，
∵A（-4，0），C（0，-4），
∴直线AC为y=-x-4，
∴设直线DE的解析式为y=x+b，
把D（-1，-

9

2

）代入得，-

9

2

=-1+b，解得b=-

7

2

，
∴直线DE的解析式为y=x-

7

2

，
解

y=-x-4 y=x- 7 2

得

x=- 1 4 y=- 15 4

，
∴E（-

1

4

，-

15

4

），
∴CE=

2

4

，DE=

3 2

4

，
∵∠PAB=∠ACD，
∴△DCE∽△PAF，
∴

PF

AF

=

DE

CE

=3，
设P（m，

1

2

m²+m-4），
∴

1 2 m2+m-4

m+4

=3，解得m=8，或m=-4（舍去），
∴P（8，36）．

点评：此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法、勾股定理、直角三角形的判定等知识；需要注意的是（3）题中，由于直角三角形的直角顶点不确定，一定要分类讨论，以免漏解．