Question

在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q是CD上任意一点，DP⊥AQ交BC于点P．
（1）求证：DQ=CP；
（2）OP与OQ有何关系？试证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵正方形ABCD中，∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，
又∵DP⊥AQ，
∴∠DAQ+∠ADP=90°，
∴∠DAQ=∠PDC，
∵在△ADQ和△CDP中，
，
∴△ADQ≌△CDP（ASA），
∴DQ=CP；

（2）OP=OQ且OP⊥OQ．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ODQ=∠OCP，
∵在△OCP和△ODQ中，

∴△OCP≌△ODQ（SAS），
∴OP=OQ，且∠DOQ=∠POC
又∵∠DOC=90°，
∴∠QOP=90°，
则OP⊥OQ．
分析：（1）根据直角三角形的性质证得∠DAQ=∠PDC，然后根据ASA即可证得△ADQ≌△CDP，即可证得；
（2）首先证明△OCP≌△ODQ，即可得到OP=OQ，且∠DOQ=∠POC，然后根据正方形的对角线互相垂直即可证得∠QOP=90°，从而证出垂直．
点评：本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确证明△OCP≌△ODQ是关键．