Question

如图（1）所示，一副三角板中，含45°角的一条直角边AC在y轴上，斜边AB交x轴于点G．含30°角的三角板的顶点与点A重合，直角边AE和斜边AD分别交x轴于点F、H．
（1）若AB∥ED，求∠AHO的度数；
（2）如图2，将三角板ADE绕点A旋转．在旋转过程中，∠AGH的平分线GM与∠AHF的平分线HM相交于点M，∠COF的平分线ON与∠OFE的平分线FN相交于点N．
①当∠AHO=60°时，求∠M的度数；
②试问∠N+∠M的度数是否发生变化？若改变，求出变化范围；若保持不变，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB∥ED
∴∠BAD=∠D=60°（两直线平行，内错角相等），
即∠BAC+∠CAD=60°．
∵∠BAC=45°，
∴∠CAD=60°-45°=15°，
∠AHO=90°-∠CAD=75°；

（2）①∵∠AHO+∠AHF=180°，∠AHO=60°，
∴∠AHF=180°-60°=120°
∵HM是∠AHF的平分线，
∴∠MHF=∠AHF=60°（角平分线的定义）．
∵GM是∠AGH的平分线，∠AGH=45°，
∴∠MGH=∠AGH=22.5°，
∵∠MHF=∠MGH+∠M，
∴∠M=60°-22.5°=37.5°；
②∠N+∠M的度数不变，理由是：
当∠BAC与∠DAE没有重合部分时，
∠GAH-∠OAF=（45°+∠OAH）-（30°+∠OAH）=15°；
当AC与AD在一条直线上时，∠GAH-∠OAF=45°-30°=15°；
当∠BAC与∠DAE有重合部分时，
∠GAH-∠OAF=（45°-∠OAH）-（30°-∠OAH）=15°；
∴∠GAH-∠OAF=15°．
易得出∠M=∠MHF-∠MGH=∠AHF-∠AGH=∠GAH，
∠N=180°-（∠OFE+90°）=180°-（∠OAF+90°）-90°
=90°-∠OAF，
∴∠M+∠N=∠GAH+90°-∠OAF=90°+×15°=97.5°（定值）．
分析：（1）由AB∥ED可以得到∠BAD=∠D=60°，即∠BAC+∠CAD=60°，然后根据已知条件即可求出∠AHO；
（2）①由∠AHO+∠AHF=180°，∠AHO=60°，可以求出∠AHF，而HM是∠AHF的平分线，GM是∠AGH的平分线，∠MHF=∠MGH+∠M，由此即可求出∠M；
②∠N+∠M的度数不变，当∠BAC与∠DAE没有重合部分时，∠GAH-∠OAF=（45°+∠OAH）-（30°+∠OAH）=15°；当AC与AD在一条直线上时，∠GAH-∠OAF=45°-30°=15°；当∠BAC与∠DAE有重合部分时，∠GAH-∠OAF=（45°-∠OAH）-（30°-∠OAH）=15°，即∠GAH-∠OAF=15°．而根据已知条件∠M=∠MHF-∠MGH=∠AHF-∠AGH=∠GAH，∠N=180°-（∠OFE+90°）=180°-（∠OAF+90°）-90°=90°-∠OAF，由此即可得到结论．
点评：此题比较复杂，考查了三角形的内角和、三角形的外角的性质、角平分线的性质、平行线的性质等多个知识，综合性比较强，难度比较大，学生首先心理上要相信自己，才能有信心解决问题．