Question

12、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O₁和△BCH的外接圆⊙O₂相交于点D，延长AD交CH于点P，
求证：点P为CH的中点．

Answer 1

分析：延长AP交⊙O₂于点Q，连接AH，BD，QB，QC，QH，由AB为⊙O₁的直径，得∠ADB=∠BDQ=90°，从而可知BQ为⊙O₂的直径，由圆周角定理得CQ⊥BC，BH⊥HQ，又H为△ABC的垂心，由垂心的定义得AH⊥BC，BH⊥AC，可推出AH∥CQ，AC∥HQ，证明四边形ACQH为平行四边形，利用平行四边形的性质证明结论．

解答：证明：如图，延长AP交⊙O₂于点Q，
连接AH，BD，QB，QC，QH．
因为AB为⊙O₁的直径，
所以∠ADB=∠BDQ=90°．（5分）
故BQ为⊙O₂的直径．
于是CQ⊥BC，BH⊥HQ．（10分）
又因为点H为△ABC的垂心，所以AH⊥BC，BH⊥AC．
所以AH∥CQ，AC∥HQ，
四边形ACQH为平行四边形．（15分）
所以点P为CH的中点．（20分）

点评：本题考查了三角形的垂心的性质，圆周角定理，平行四边形的判定与性质．关键是利用平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，构造平行四边形证明结论．