Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE分别交BD、BC于点G、E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若ED⊥DC，∠ABC=60°，AB=2，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据AB=AD及AE为∠BAD的平分线可得出BG=DG，从而证得△ADG≌△EGB，这样就得出四边形ABED为平行四边形，根据菱形的判定定理即可得出结论．
（2）过点D作DF⊥BC交BC于点F，根据四边形ABED是菱形，∠ABC=60°结合题意可得出BC的长度，进而利用解直角三角形的知识可得出DF的长度，也就得出了答案．

解答：解：（1）∵AB=AD，AE为∠BAD的平分线，
∴BG=DG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠GBE，∠DAG=∠GEB，
∴△ADG≌△EGB，
∴AG=GE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABED是菱形；

（2）过点D作DF⊥BC交BC于点F，
∵四边形ABED是菱形，∠ABC=60°，
∴∠DEC=∠ABC=60°，AD=BE=DE=AB=2．
∵ED⊥DC，
∴∠C=30°
∴EC=4，
∴BC=6，
在Rt△DEF中，∠DEF=60°，DE=2，
∴DF=

3

，（5分）
∴梯形ABCD的面积=

(2+6) 3

2

=4

3

．

点评：本题考查了梯形及菱形的判定以及菱形的性质，难度一般，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定定理及菱形的性质．