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    如图, 二次函数的图像与轴、轴的交点分别为A、B，点C在这个二次函数的图像上，且∠ABC=90º，∠CAB=∠BAO，．  

    （1）求点A的坐标；     （2）求这个二次函数的解析式．

    解：（1）二次函数的图像轴的交点为B（0，2），

            在Rt△AOB中，∵OB=2，，

            ∴OA=4，∴点A的坐标（4，0）．

    （2）过点C作CD⊥轴，垂足为D，

    ∵∠CDB=∠ABC=∠AOB=90º，

    ∴∠CBD=180º–∠ABC–∠ABO=90º–∠ABO=∠BAO．

        ∴△CDB∽△BOA，

        ∵∠CAB=∠BAO，∴，

        ∴．

        ∴OC=1，BD=2，∴OD=4．∴C（1，4）．

    ∵点A、C在二次函数的图像上，

    ∴

    ∴

    ∴二次函数解析式为．

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    如图，已知在直角坐标平面内，点A的坐标为（3，0），第一象限内的点P在直线y=2x上，∠PAO=45度．精英家教网
    （1）求点P的坐标；
    （2）如果二次函数的图象经过P、O、A三点，求这个二次函数的解析式，并写出它的图象的顶点坐标M；
    （3）如果将第（2）小题中的二次函数的图象向上或向下平移，使它的顶点落在直线y=2x上的点Q处，求△APM与△APQ的面积之比．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图①，二次函数的抛物线的顶点坐标C，与x轴的交于A(1,0)、B(-3,0)两点，与y轴交于点D（0,3）

    1.求这个抛物线的解析式

    2.如图②，过点A的直线与抛物线交于点E，交轴于点F，其中点E的横坐标为-2，若直线为抛物线的对称轴，点G为直线上的一动点，则轴上是否存在一点H，使四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；

    3.如图③，连接AC交y轴于M，在x轴上是否存在点P，使以P、C、M为顶点的三角形与△AOM相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

    图①                                     图②

    图③

     

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    科目：初中数学 来源：2011-2012年北京市华夏女子中学九年级第一学期期中考试数学卷 题型：解答题

    如图是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).

    【小题1】（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标；
    【小题2】（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
    【小题3】（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.

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    科目：初中数学 来源：2013年上海市中考数学模拟试卷（二）（解析版） 题型：解答题

    如图，已知在直角坐标平面内，点A的坐标为（3，0），第一象限内的点P在直线y=2x上，∠PAO=45度．
    （1）求点P的坐标；
    （2）如果二次函数的图象经过P、O、A三点，求这个二次函数的解析式，并写出它的图象的顶点坐标M；
    （3）如果将第（2）小题中的二次函数的图象向上或向下平移，使它的顶点落在直线y=2x上的点Q处，求△APM与△APQ的面积之比．

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    科目：初中数学 来源：2011年上海市浦东新区中考数学二模试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，已知在直角坐标平面内，点A的坐标为（3，0），第一象限内的点P在直线y=2x上，∠PAO=45度．
    （1）求点P的坐标；
    （2）如果二次函数的图象经过P、O、A三点，求这个二次函数的解析式，并写出它的图象的顶点坐标M；
    （3）如果将第（2）小题中的二次函数的图象向上或向下平移，使它的顶点落在直线y=2x上的点Q处，求△APM与△APQ的面积之比．

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