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    理解与应用
    小明在学习相似三角形时,在北京市义务教育课程改革实验教材第17册书,第37页遇到这样一道题：

    如图1,在△ABC中,P是边AB上的一点,联结CP.
    要使△ACP∽△ABC,还需要补充的一个条件是____________,或_________.
    请回答：
    （1）小明补充的条件是____________________,或_________________.
    （2）请你参考上面的图形和结论,探究、解答下面的问题：
    如图2,在△ABC中,∠A=60°,AC2= AB2+AB.BC.求∠B的度数．

    （1）∠APC=∠ACB,∠ACP=∠B,或；（2）∠B=80°.

    解析试题分析：（1）已知一个角相等，根据三角形相似的判定添加条件；
    （2）通过延长AB到点D,使BD=BC,构造相似三角形，再由三角形内角和定理求角。
    试题解析：（1）∠APC=∠ACB,∠ACP=∠B,或； 
    （2）如图,延长AB到点D,使BD=BC,

    ∵∠A=∠A,AC2=AB(AB+BC),
    ∴△ACB∽△ADC．
    ∴∠ACB=∠D,
    ∵BC=BD,
    ∴∠BCD=∠D,
    在△ACD中,
    ∵∠ACB+∠BCD+∠D +∠A=180°,
    ∴3∠D+60°=180°,
    ∴∠D=40°
    ∴∠B="80°"
    考点：三角形相似.

    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    问题情境：如图1，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点。
    问题探究：（1）在旋转过程中，
    ①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由。
    ②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由。
    ③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为_______________（直接写出结论，不必证明）
    （2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由。

    图1              图2                 图3

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G和点H，BD=12，EF=8。求：（1）的值。（2）线段GH的长。

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.证明：△ADE∽△EFC．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    如图,小丽在观察某建筑物．

    （1）请你根据小亮在阳光下的投影,画出建筑物在阳光下的投影．
    （2）已知小丽的身高为,在同一时刻测得小丽和建筑物的投影长分别为和,求建筑物的高．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    四边形ABCD中,点E是AB的中点,F是AD边上的动点．连结DE、CF．
    （1）若四边形ABCD是矩形,AD=12,CD=10,如图（1）所示．

    ①请直接写出AE的长度;
    ②当DE⊥CF时,试求出CF长度．
    （2）如图（2）,若四边形ABCD是平行四边形,DE与CF相交于点P．
    探究：当∠B与∠PC满足什么关系时,成立？并证明你的结论．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    小明对直角三角形很感兴趣. △ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上任意一点，连接DC，作DE⊥DC，EA⊥AC，DE与AE交于点E.请你跟着他一起解决下列问题：

    (1)如图1，若△ABC是等腰直角三角形，则DE,DC有什么数量关系？请给出证明.
    (2)如果换一个直角三角形，如图2，∠CBA＝30°，则DE,DC又有什么数量关系？请给出证明.
    (3)由(1)、(2)这两种特殊情况，小明提出问题：如果直角三角形ABC中，BC=mAC，那DE, DC有什么数量关系？请给出证明.

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E．

    （1）证明△PAE∽△CDP；
    （2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，设AP＝x，BE＝y，求y与x的函数关系式及y的取值范围；
    （3）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．

    （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
    （2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
    （3）在（2）中：
    ①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；
    ②当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

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