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    （2013•金华模拟）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=-
    1
    2
    x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y=-
    1
    2
    x2+bx+c交于第四象限的F点．
    （1）求该抛物线解析式与F点坐标；
    （2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒
    		13
    2
    个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
    ①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
    ②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．
    分析：（1）由矩形的性质可求出C点的坐标，把B和C点的坐标代入y=-
    1
    2
    x2+bx+c求出b和c的值即可该抛物线解析式；设直线AD的解析式为y=k1x+b1把A（4，0）、D（2，3）代入求出一次函数的解析式，再联立二次函数和一次函数的解析式即可求出F点的坐标；
    （2）①连接CF交x轴于H′，过H′作BC的垂线交BC于P′，当P运动到P′，当H运动到H′时，EP+PH+HF的值最小；②过M作MN⊥OA交OA于N，再分别讨论当PM=HM时，M在PH的垂直平分线上，当PH=PM时，求出符合题意的t值即可．
    解答：解：（1）∵矩形ABCO，B点坐标为（4，3）
    ∴C点坐标为（0，3）
    ∵抛物线y=-
    1
    2
    x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，
    ∴
    c=3
    -8+4b+c=3
    ，
    解得：
    c=3
    b=2
    ，
    ∴该抛物线解析式y=-
    1
    2
    x2+2x+3，
    设直线AD的解析式为y=k1x+b1
    ∵A（4，0）、D（2，3），
    ∴
    4k1+b1=0
    2k1+b1=3
    ∴
    k1=-
    3
    2
    b1=6
    ，
    ∴y=-
    3
    2
    x+6    ，
    联立
    y=-
    3
    2
    x+6
    y=-
    1
    2
    x2+2x+3
    ，
    ∵F点在第四象限，
    ∴F（6，-3）；
    （2）①∵E（0，6），∴CE=CO，（如图（1）），
    连接CF交x轴于H′，过H′作BC的垂线交BC于P′，当P
    运动到P′，当H运动到H′时，EP+PH+HF的值最小．
    设直线CF的解析式为y=k2x+b2
    ∵C（0，3）、F（6，-3），
    ∴
    b2=3
    6k2+b2=-3
    ，
    解得：
    k2=-1
    b2=3
    ，
    ∴y=-x+3
    当y=0时，x=3，
    ∴H′（3，0），
    ∴CP=3，∴t=3；
    ②如图1过M作MN⊥OA交OA于N，
    ∵△AMN∽△AEO，
    ∴
    AM
    AE
    =
    AN
    AO
    =
    MN
    EO
    ，
    ∴
    		13
    2
    t
    2
    		13
    =
    AN
    4
    =
    MN
    6
    ，
    ∴AN=t，MN=
    3
    2
    t    ，
    I如图3，当PM=HM时，M在PH的垂直平分线上，
    ∴MN=
    1
    2
    PH，
    ∴MN=
    3
    2
    t=
    3
    2
    ，
    ∴t=1；
    II如图2，当PM=HP时，MH=3，MN=
    3
    2
    t    ，
    HN=OA-AN-OH=4-2t 在Rt△HMN中，MN2+HN2=MH2，
    ∴(
    3
    2
    t)2+(4-2t)2=32    ，
    即25t2-64t+28=0，
    解得：t1=2（舍去），t2=
    14
    25
    ；
    III如图4，当PH=PM时，
    ∵PM=3，MT=|3-
    3
    2
    t|    ，PT=BC-CP-BT=|4-2t|，
    ∴在Rt△PMT中，MT2+PT2=PM2，
    即(3-
    3
    2
    t)2+(4-2t)2=32    ，
    ∴25t2-100t+64=0，
    解得：t1=
    16
    5
    ，t2=
    4
    5

    综上所述：t=
    14
    25
    ，
    4
    5
    ，1，
    16
    5
    ．
    点评：本题主要考查了矩形的性质、用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、一次函数和二次函数交点的问题、相似三角形的判定和性质以及一元二次方程的应用，题目的综合性很强，解题的关键是利用数形结合进行分类讨论是解决问题的关键，分析时注意不要漏解．
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    0
    0
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