Question

如图，已知：在⊙O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD．
（1）求证：△ACH∽△AFC；
（2）猜想：AH•AF与AE•AB的数量关系，并说明你的猜想；
（3）探究：当点E位于何处时，S_△AEC：S_△BOD=1：4，并加以说明．

Answer 1

（1）证明：∵直径AB⊥CD，
∴，
∴∠F=∠ACH，
又∠CAF=∠FAC，
∴△ACH∽△AFC．

（2）解：AH•AF=AE•AB．
证明：连接FB，
∵AB是直径，
∴∠AFB=∠AEH=90°，
又∠EAH=∠FAB，
∴Rt△AEH∽Rt△AFB，
∴，
∴AH•AF=AE•AB．

（3）解：当时，S_△AEC：S_△BOD=1：4．
理由：∵直径AB⊥CD，
∴CE=ED，
∵S_△AEC=AE•EC，
S_△BOD=OB•ED，
∴===，
∵⊙O的半径为2，
∴，
∴8-4OE=2，
∴OE=．
即当点E距离点O 时S_△AEC：S_△BOD=1：4．
分析：（1）根据垂径定理得到弧AC=弧AD，再根据圆周角定理的推论得到∠F=∠ACH，根据两个角对应相等证明两个三角形相似；
（2）连接BF，构造直角三角形，把要探索的四条线段放到两个三角形中，根据相似三角形的判定和性质证明；
（3）根据三角形的面积公式，得到两个三角形的面积比即为AE：OB，进一步转化为AE：AO的比，再根据半径的长求得OE的长．
点评：能够综合运用垂径定理和圆周角定理的推论得到有关的角相等．掌握相似三角形的判定和性质．