Question

（2012•孝感模拟）如图，AD∥BC，∠BAD=90°．以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE；过C点作CF⊥BE，垂足为F．已知AB=6，sin∠ABE=

4

5

，则EF的长度为

2

．

Answer 1

分析：由题意可得BE=BC，∠AEB=∠FBC，易证明得直角三角形ABE与直角三角形FCB全等，得出BE=AE，再根据sin∠ABE=

4

5

，求出cos∠ABE的值，即可求出BE，再根据勾股定理求出AE，即可得出答案．

解答：解：∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠FBC；
由于以点B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE=BC，
在△ABE与△FCB中，

∠AEB=∠FBC ∠BAE=∠CFB=90° BE=BC

，
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴BF=AE，
∵sin∠ABE=

4

5

，
∴cos∠ABE=

3

5

，
∵AB=6，
∴BE=

AB

cos∠ABE

=

6

3 5

=10，
∵∠BAD=90°，
∴AE=

BE2-AB2

=

102-62

=8，
∵BF=AE，
∴BF=8，
∴EF=BE-BF=8-6=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了解直角三角形，用到的知识点是解直角三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．