Question

如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；
（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，探索并判断四边形CDAN是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；
（3）直线y=mx+2与抛物线交于T，Q两点．是否存在这样的实数m，使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据顶点式设抛物线解析式为y=a（x-1）²+4，将N（2，3）代入求a，确定抛物线解析式，根据抛物线解析式求点A、B、C的坐标；
（2）根据M、C两点坐标求直线y=kx+t解析式，得出D点坐标，求线段AD，由C、N两点坐标可知CN∥x轴，再求CN，证明CN与AD平行且相等，判断断四边形CDAN是平行四边形；
（3）存在．如图设T（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分别过T、Q作TF⊥y轴，QG⊥x轴，联立直线TQ解析式与抛物线解析式，可得x₁，y₁，x₂，y₂之间的关系，当以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点时，∠TOQ=90°，利用互余关系可证△TOF∽△QOG，利用相似比得出线段关系，结合x₁，y₁，x₂，y₂之间的关系求m的值．

解答：解：（1）抛物线的顶点坐标为M（1，4），设抛物线解析式为y=a（x-1）²+4，
将N（2，3）代入，得a（2-1）²+4=3，解得a=-1，
所以，抛物线解析式为y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3，
令x=0，得y=3，则C（0，3），
令y=0，得x=-1或3，则A（-1，0），B（3，0）；

（2）四边形CDAN是平行四边形．
理由：将C（0，3），M（1，4），代入直线y=kx+t中，得

t=3 k+t =4

，
解得

k=1 t=3

，直线CM解析式为y=x+3，则D（-3，0），
∵C（0，3），N（2，3），∴CN∥x轴，且CN=2-0=2，
又∵A（-1，0），D（-3，0），∴AD=-1-（-3）=2，
∴四边形CDAN是平行四边形；

（3）存在．
如图设T（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分别过T、Q作TF⊥y轴，QG⊥x轴，
联立

y=-x2+2x+3 y=mx+2

，解得x²+（m-2）x-1=0，
则x₁+x₂=2-m，x₁x₂=-1，
当以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点时，∠TOQ=90°，
则∠TOF+∠FOQ=∠FOQ+∠QOB=90°，
则∠TOF=∠QOB，而∠TFO=∠QGO=90°，
所以，△TOF∽△QOG，

TF

QG

=

OF

OG

，即

-x1

y2

=

y1

x2

，
x₁x₂+y₁y₂=0，-1+（mx₁+2）（mx₂+2）=0，
-1+m²x₁x₂+2m（x₁+x₂）+4=0，
-1-m²+2m（2-m）+4=0，整理，得3m²-4m-3=0，
解得m=

2± 13

3

．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．根据利用抛物线的顶点式求抛物线解析式，利用解析式求抛物线与坐标轴的交点，根据平行四边形的判定定理，判断平行四边形，利用互余关系证明相似三角形，利用相似三角形的性质求解．