Question

如图所示，△ABC的外接圆圆心0在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的ND边的中线．
（1）求证：△ABC≌△DNC：
（2）试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意要证全等，根据圆周角定理及等量代换得到全等条件即可解答；
（2）连接OC，利用等量代换证明角OCP为直角即可解答．
解答：解：（1）∵DM⊥AB，
∴∠AMN=90°，
∴∠MAN=90°-∠MNA，
又∵∠MNA=∠CND，
又∵∠D=90°-∠CND，
∴∠MAN=∠D，
又∵AC=CD，
AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠NCD，
∴△ABC≌△DNC（ASA）

（2）CP是⊙O的切线．证明如下：
连接OC
∵CP为△CND的中线，
∴CP=PD=NP，
∴∠PCD=∠D=∠MAN．
又∠PCD+∠NCP=90°，∠MAN+∠MBC=90°，
∴∠NCP=∠MBC，
又∵OA=OC，
∴∠OCA=∠MAN
∴∠OCA+∠NCP=∠MAN+∠MBC=90°
∴CP是⊙O的切线．
点评：本题考查了切线的判定，全等三角形的判定等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．