Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（1）如图1，当A′B′∥AC时，设A′C与AB相交于点D．证明：△BCD是等边三角形；
（2）如图2，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S_△ACA′和S_△BCB′．求：S_△ACA′与S_△BCB′的比；
（3）如图3，设AC中点为E，A′B′中点为P，BC=a，连接EP，求：角θ为多少度时，EP长度最大，并求出EP的最大值．

Answer 1

（1）证明：如图1，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠CBA=60°（直角三角形的两个锐角互余）．
∵A′B′∥AC，
∴∠ACA′=∠CA′B′，
又由旋转的性质知，∠CA′B′=∠CAB=30°，
∴∠ACA′=∠CAB=30°，即θ=30°，
∴∠A′CB=∠ACB-θ=90°-30°=60°，
∴∠CDB=60°，
∴在△CDB中，∠DCB=∠CBD=∠BDC=60°，
∴△BCD是等边三角形；

（2）证明：如图2，由旋转的性质可知AC=CA₁，BC=CB₁，
∴=，
又由旋转的性质知，∠ACA₁=∠BCB₁
∴△ACA₁∽△BCB₁，
∴S_△ACA′：S_△BCB′=AC²：BC²=：1=3：1；

（3）解：如图，连接CP，当△ABC旋转到△A′B′C的位置时，
此时θ=∠ACA′=150°，EP=EC+CP=AC+A′B′=×a+×2a=a．
即角θ150°时，EP长度最大，其最大值是a．
分析：（1）由∠ACB=90°，∠BAC=30°得∠CBA=90°-30°=60°，根据旋转的性质可得∠CA′B′=∠CAB=30°，而A′B′∥AC，所以∠ACA′=∠CA′B′=30°，即θ=30°；
（2）由旋转的性质可证△ACA₁∽△BCB₁，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解；
（3）连接CP，当E、C、P三点共线时，EP最长，根据图形求出此时的旋转角及EP的长．
点评：本题考查了旋转的性质，特殊三角形的判定与性质，相似三角形的判断与性质．关键是根据旋转及特殊三角形的性质证明问题．