Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，斜边上的高CD=h，△ABE是以AB为斜边的等腰直角三角形，连接CE．
①以a+b，c+h，h的长为边的三角形是直角三角形．
②以

1

a

，

1

b

，

1

h

的长为边的三角形是直角三角形．
③AC²-BC²=AD²-DB²．④CA+CB=

2

AE．其中正确的是（　　）

A．①②③

B．②③④

C．①②④

D．①②③④

Answer 1

分析：根据勾股定理、三角形面积公式求得a²+b²=c²、ab=ch、AE=BE=

2

2

c；
①由以上数据求得（a+b）²+h²=（c+h）²，然后根据勾股定理的逆定理推得该三角形是直角三角形；
②由以上数据求得（

1

a

+

1

b

）²=

1

h2

，然后根据勾股定理的逆定理推得该三角形是直角三角形；
③在直角三角形ACD和直角三角形BCD中，利用勾股定理求得AD²与BD²的值；
④在直角三角形ABC和直角三角形AEB中利用勾股定理求得该结论．

解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，
∴a²+b²=c²；
又∵CD是斜边AB上的高，CD=h，
∴

1

2

ab=

1

2

ch，即ab=ch；
∵△ABE是以AB为斜的等腰直角三角形，
∴AE=BE=

2

2

c；
①∵（a+b）²+h²=c²+2ab+h²=c²+2ch+h²=（c+h）²，即（a+b）²+h²=（c+h）²，
∴以a+b，c+h，h的长为边的三角形是直角三角形．
故本选项正确；

②∵（

1

a

）²+（

1

b

）²=

(a+b)2

a2b2

=

c2

c2h2

=

1

h2

，即（

1

a

+

1

b

）²=

1

h2

，
∴以

1

a

，

1

b

，

1

h

的长为边的三角形是直角三角形；
故本选项正确；

③∵AC²-BC²=b²-a²，AD²-DB²=（b²-h²）-（a²-h²）=b²-a²，
即AC²-BC²=AD²-DB²．
故本选项正确；

④∵（CA+CB）²=（b+a）²=c²+2ab，AE=BE=

2

2

c，
∴（CA+CB）²=2AE²=c²
∴CA+CB≠

2

AE．
故本选项错误；
综上所述，正确的选项是①②③；
故选A．

点评：本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．