Question

（2004•呼和浩特）如图，PAB为割线且PA=AB，PO交⊙O于C，若OC=3，OP=5，则AB的长为（　　）

• A．

  10

• B．2

  2

• C．

  6

• D．

  5

Answer 1

分析：延长PO到E，延长线与圆O交于点E，连接EB，AC，由半径OC的长，得到半径OE的长，再由OE+OP得出EP的长，OP-OC得出CP的长，由PA=AB，设出PA=AB=x，则BP=2x，根据四边形ACEB为圆O的内接四边形，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角得到一对角相等，再由公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形ACP与三角形EBP相似，由相似得比例，将各自的长代入列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AB的长．

解答：解：延长PO到E，延长线与圆O交于点E，连接EB，AC，

∵OC=3，OP=5，
∴OE=OC=3，
∴EP=OE+OP=3+5=8，CP=OP-OC=5-3=2，
设PA=AB=x，则BP=2x，
∵四边形ACEB为圆O的内接四边形，
∴∠ACP=∠E，又∠P=∠P，
∴△ACP∽△EBP，
∴

CP

BP

=

AP

EP

，即

2

2x

=

x

8

，
解得：x=2

2

或x=-2

2

（舍去），
则AB=2

2

．
故选B

点评：此题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用了转化及方程的思想，其中作出如图所示的辅助线是解本题的关键．