Question

探索、研究：下图是按照一定的规律画出的一列“树型”图，下表的n表示“树型”图的序号，a_n表示第n个“树型”图中“树枝”的个数。

图：

                                         

n	1	2	3	4	…
an	1	3	7	15	…

表：

⑴ 根据“图”、“表”可以归纳出a_n关于n的关系式为____________________。

若直线经过点、，求直线对应的函数关系式，并说明对任意的正整数n，点都在直线上。

⑵ 设直线：与x轴相交于点A，与直线相交于点M，双曲线经过点M，且与直线相交于另一点N。

① 求点N的坐标，并在如图所示的直角坐标系中画出双曲线及直线、。

② 设H为双曲线在点M、N之间的部分（不包括点M、N），P为H上一个动点，点P的横坐标为，直线MP与x轴相交于点Q，当为何值时，的面积等于的面积的2倍？又是否存在的值，使得的面积等于1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

③ 在y轴上是否存在点G，使得的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解:（1） 

    过点、的直线为 ①

    将点代入①，

    左式=，右式=，左式=右式

    ∴对任意的正整数n，点都在直线上。

（2）①由题意，点A的坐标为，点M的坐标为

由双曲线过点M，得，双曲线为，

由此得点N的坐标为

② 由题意，点P的坐标为

当，即时，P为MQ的中点，

∴，由此得  t=2

∴当t=2时，的面积等于的面积的2倍

过M作ME⊥x轴于E，则

由

用配方法或根的判别式法可以确定此方程没有实数根。

∴不存在这样的t值，使的面积为1

③ 由题意，点M关于y轴的对称点M’的坐标为

设在y轴上存在点G，使得的周长最小

∵MN为定值

∴要使的周长最小，只要GM+GN的值最小，由平面几何知识可知，得G为M’N与y轴的交点，

设过M’N的直线所对应的函数关系式为，则

，得，

∴ 由此可求得G的坐标为