Question

已知如图，AB∥CD∥EF，点M、N、P分别在AB、CD、EF上，NQ平分∠MNP．
（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP、∠DNQ的度数；
（2）探求∠DNQ与∠AMN、∠EPN的数量关系．

Answer 1

解：（1）∵AB∥CD∥EF，
∴∠MND=∠AMN=60°，∠DNP=∠EPN=80°，
∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°，
而NQ平分∠MNP，
∴∠MNQ=∠MNP=×140°=70°，
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°，
所以∠MNP、∠DNQ的度数分别为140°，10°；

（2）由（1）得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN，
∴∠MNQ=∠MNP=（∠AMN+∠EPN），
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND
=（∠AMN+∠EPN）-∠AMN，
=（∠END-∠AMN）．
分析：（1）由AB∥CD∥EF，根据两直线平行，内错角相等得到∠MND=∠AMN=60°，∠DNP=∠EPN=80°，则∠MNP=∠MND+∠DNP；又NQ平分∠MNP，可计算出∠MNQ，然后计算∠DNQ=∠MNQ-∠MND即可；
（2）由（1）得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN，再根据角平分线的定义得到∠MNQ=∠MNP=（∠AMN+∠EPN），而∠DNQ=∠MNQ-∠MND，然后经过角的代换即可得到∠DNQ与∠AMN、∠EPN的数量关系．
点评：本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．也考查了角平分线的定义．