如图所示,在⊙O中,=,弦AB与弦AC交于点A,弦CD与AB交于点F,连接BC.
(1)求证:AC2=AB•AF;
(2)若⊙O的半径长为2cm,∠B=60°,求图中阴影部分面积.
考点:
扇形面积的计算;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理;相似三角形的判定与性质。
专题:
几何综合题。
分析:
(1)由=,利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等,再由一对公共角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF与△ABC相似,根据相似得比例可得证;
(2)连接OA,OC,利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍,由∠B为60°,求出∠AOC为120°,过O作OE垂直于AC,垂足为点E,由OA=OC,利用三线合一得到OE为角平分线,可得出∠AOE为60°,在Rt△AOE中,由OA及cos60°的值,利用锐角三角函数定义求出OE的长,在Rt△AOE中,利用勾股定理求出AE的长,进而求出AC的长,由扇形AOC的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积,利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积.
解答:
(1)证明:∵=,
∴∠ACD=∠ABC,又∠BAC=∠CAF,
∴△ACF∽△ABC,
∴=,即AC2=AB•AF;
(2)解:连接OA,OC,过O作OE⊥AC,垂足为点E,
如图所示:
∵∠ABC=60°,∴∠AOC=120°,
又OA=OC,∴∠AOE=∠COE=×120°=60°,
在Rt△AOE中,OA=2cm,
∴OE=OAcos60°=1cm,
∴AE==cm,
∴AC=2AE=2cm,
则S阴影=S扇形OAC﹣S△AOC=﹣×2×1=(﹣)cm2.
点评:
此题考查了扇形面积的求法,涉及的知识有:相似三角形的判定与性质,弧、圆心角及弦之间的关系,等腰三角形的性质,勾股定理,以及锐角三角函数定义,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:
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